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story of two prisoners: part I

April 3, 2009

最近有个网友喜欢上了出数学题,迄今为止一共有三道。第一道我没看懂。第二道我发现用微积分可解,就把解题思路写了一下以供对方参考。第三道看了一眼本没打算去做,结果晚上被小鬼问起,那就做吧。说起来这题还算我老本行了,用组合方法得出结论并不困难,不过不能象上次用微积分那样容易地给个说法了。做完题之后小小兴奋了一会,试图跟小鬼灌输一点关于组合计算的思路…… 其实我做的这种离散纯数学,对做其他学科的人来说实在是全无用处,── 连我自己都觉得除了用来教学生之外没啥意义。可是想到今天下午还在跟学生侃侃而谈我当年怎么学数学的经历…… 难道我是在自欺欺人么?

从大学毕业的时候我认为这辈子再也不想碰数学啦。真的想。不是一时义气。这是我在高中大学的几年当中一点数学没学的直接结果。大学毕业后八年间,我果真再也没碰过数学。等到考了GRE托福,我也并不知道自己到底要去学什么。可世间的事情是,想是一回事,做是另外一回事。当年我的困扰跟现在相似。虽然叫着骂着恨了很多年数学,可是除了数学我还做过什么“专业”的学习呢?在当时做数学还有另一个明显的好处,就是可以轻松获得奖学金。如此一来,我胆颤心惊地就回到了一度以为再也不会继续的数学上来。当时我对自己的命运全无把握,并不知道怎样能顺利拿到博士。五年是个漫长的时光,奇迹或者随时会出现。── 就算看不到奇迹,走一步看一步总可以吧。就这样,我延续自己一贯的“走一步看一步”的政策,因为“方便”的缘故,进入了graduate school。

最初进入大学数学系,也是本着全然一样的方针来的。在高中即将毕业的时候,我其实并没有想上数学系。那时我大概什么都不想上,只不过总得上个大学才行吧?那时的我不光数学,所有的学科成绩都差得一塌糊涂,── 完全不是吹的,我是物理课代表,所以最清楚的事情是每次摸底考最后一名永远是我。高考怎么办?那是一个未知数。我在最后的校园里日日行走,持续着“不想,不worry,不学习”的生活。当时我唯一确定的是没有大学上的前景相当可观。不久之后数学竞赛成绩下来,侥幸的了个名词,随之而来一份保送通知单。父母都不大确定让我上数学系是不是一个正确的选择,我就开始跟他们写信表决心说我有多么多么地想去学数学。事实是…… 正如前面所说的。就这样我躲过高考,稀里糊涂地给自己选择了一个后来不得不坚持终生(至少到现在为止)的职业。在这个数学的泥潭里我哭着喊着成天想要出去,跟任何一个在监狱里的人恨不能立刻被释放掉一样。只是大家都知道,人在监狱里呆时间越久越跟外面的世界脱节,要真出去了会遇到些什么呢?还能正常地在社会里function不?这些疑问我得不到回答。我唯一确定的是一想到被释放出去就感到不寒而栗。在任何一个不是以数学为基础的职业上我能做些什么?那的确是相当危险的想法……

接下来,我开始思考逻辑这个问题。噢,在那之前,让我讲个小故事吧。

某监狱当中有两个被关在一笼儿里的囚犯 ── 对不起了囚犯同学们,再次借用你们来做一下我的描述对象,哪怕我很晓得你们已经被各种网络小题折腾得有够烦的了。等下次,下次我再去麻烦强盗大哥们吧。 ── 话说这两囚犯用来打发太多无聊时光的方法是比赛走路。您说一个监狱房间多大点地方,够拿来走的么?所以他们想出新奇的方法来比赛走,让我来描述一下吧。

第一个囚犯,权且称之为囚犯甲(如果你能想出更明亮好听的名字,不妨给我建议一下)。只见囚犯甲从墙上掰了一块石灰粉下来,在地上好不容易地给画了个5乘5的方格,横六道、竖六道。等他歪歪扭扭地画完,汗都出了大半身。囚犯乙蹲在一边看他折腾,托着腮一脸的困惑。囚犯甲这时得意地说,“我要从左下角的顶点开始,每次往右走一步或者往上走一步,每一步都在一个格点上,一直到我走到右上角的顶点为止。”囚犯甲话音刚落,囚犯乙就开口了“qie,原来这么回事啊,不就是十步么,来,我来给你走十步瞧瞧。”只见囚犯乙走到房间另一侧,在地上随便用手指画出一堆歪歪扭扭的横线和竖线(囚犯乙没有囚犯甲那么做事认真仔细),然后指着左下角的格点说,“我就从这开始,跟你一样每次往右或者往上,走上个十步。”

两人你走你的,我走我的,就这么消磨了一会儿时光,囚犯乙烦了,跟囚犯甲说,“这么着好不好,我们来一个比赛,要求是我们循着自己定下的行走规则,每次要走不一样的路线,谁先走光所有路线谁就输。谁输了呢…… 谁就负责打扫一星期的卫生!”囚犯甲说,“好啊── 慢着!”囚犯乙道:“怎么着?”囚犯甲说,“这个法子,你要赢定了的!我必须在我画的5乘5的方格里走,所以我的每条路线都是五个横步加五个纵步 ── 而你却能走任何多的横步,加剩下的纵步。噢不行不行,这个比赛法子不公平!”囚犯乙说,“嘿嘿,计谋被你揭穿啦。”(看来这两囚犯都挺头脑敏捷的。这是因为他们长年在监狱里呆着,除了用走路的方式锻炼身体,就是去监狱图书馆找书看。任何一个人书看多了脑子都有点闹腾,看来囚犯们更是如此啊。)

竞赛取消了,两个人都觉得没大意思。他们呆呆着看一会各自画出来的方格子,再看一会狭小窗户上映出来的蓝天,有点无精打采。囚犯乙眼珠一转,说“这样你说成不?你就照你的走法,而我呢,必须呆在对角线以下,不能跑到上半边去。这样我虽然走法比你自由,但我行动的空间少了很多,我们看看谁能坚持到最后?”囚犯甲正一听这下公平了很多,不如就试一下吧。囚犯甲一向是个小心翼翼的人,所以他犹豫了一会才表示答应。就这样,两人的竞赛开始了。现在更改过的竞赛规则容我跟您重复一下:

囚犯甲在他的5乘5方格里从左下角顶点走起,每步往右走一格或者往上走一格,一直到右上角顶点为止。这当中他要走五个横步和五个纵步,一共十步。囚犯乙呢是在他随手画出来的格子道道里,从左下角顶点走起,每步也是往右走一格或者往上走一格,一共走十步,但规定是他必须要呆在对角线下方(包括对角线),而不能走到对角线以上的位置去。两个人每走完一个路线,就接着回到起点,换一个不同路线照规矩去走,一直到其中一个人再也找不出新路线可走,就只好认输打扫厕所去了。── 您说他们不会作弊吧,好比把已经走过的路线再走一遍才是。这个请放心,我写的故事我负责,我笔下的囚犯个个都是品行端正、老实可靠的孩子,不仅不会作弊,连在他们面前提一下“作弊”这个词都能叫他们脸红老半天呢。您又说了,就算他们不想作弊,可怎么能清楚地记得自己走过的路线,以便不会重复呢?这个您请放心,我笔下的囚犯不是普通的囚犯,他们正经是天下地上找得到的天才 ── 除了我不想他们知道的事情之外他们啥都知道。

话说两人都觉得比赛规则公平了,自己总归有了机会让对方打扫厕所一星期,于是磨拳擦掌,跃跃欲试。第一回合,两人各自挑了
一个路线,数着“1234567890”,走完十步,回到起点,然后是第二回合,第三回合…… 第一天很快结束了,才过了二十个回合,竞赛还没结束呢。谁都不想在自己还有赢面的时候打扫厕所,宁愿顶着臭烘烘的味道捂着鼻子就睡觉了。第二天两人同时被熏醒,两相一商量,决定今天要走得快些,以便能及时结束比赛,让厕所干净一下。他们走得跟飞也似的,比第一天快了很多,但怎么也没想到的是五十个回合过去了,比赛还是没有结束。第三天两人都觉得自己已经受够了,今天不用走用比划总可以了吧 ── 两人还是同时进行,数着“1234567890”各自比划自己的路线,如此是快了很多,一天就搞掂了一百五十个回合,这时睡觉时间到了。囚犯甲和囚犯乙面面相觑,心下想的是同一个念头:“怎么还没完啊?对方究竟想要什么时候才认输。”唉,没办法,再挺一天吧!第四天一大早他们同时从床上跳了起来,噼里啪啦历数自己的路线,时间飞快地过去了,快吃中饭的时候,他们已经进行到第四十三轮。诚实的囚犯甲和囚犯乙(我是多么仰慕你们的诚实啊,请接受我,一个忠实fans,的真心告白),就在这第四十三轮上,两人同时对对方说,“我输啦!”……

如果说一个人认输意味着打扫厕所,那么两个人同时认输,那又意味着什么呢 ── 他们飞快地看了对方一眼,再低头研究一遍自己的方格,然后再抬头看着对方,摇头说,“我没新路线了。”两人都没有新的路线,啊啊,人生之悲伤,何甚于此!囚犯甲和囚犯乙愁眉苦脸地合力把好几天没清理过的厕所给搞掂之后,都给累了个半死,双双直挺挺躺在床上,他们想的是同一个问题:“我怎么找不到新路线了?是不是5这个数字对我流年不利?”这时囚犯甲突然跟囚犯乙说,“明天我们再玩新游戏吧,我走6乘6,你走十二步,老规矩。”囚犯乙求之不得道,“行啊!”在新鲜的空气里,两人同时睡去,做起关于自己赢掉对方的好梦……

事实呢?他们的新比赛6乘6又僵局了。然后是7乘7,8乘8,…… 一年过去了,十年过去了,二十年,囚犯甲刑满释放的时候,他们已经开始15乘15的比赛了。两人当然早已经放弃让对方认输的希望,这比赛成了一个纯粹的游戏,总是在找寻不同的路径,以此来打发大把无聊的光阴。当然了,他们一直都每天合力打扫厕所来着,谁都没偷懒过。(我不是说过,我的囚犯是模范囚犯嘛。)囚犯乙依依不舍地送囚犯甲出狱,一个人回到空荡荡的房间,他是多么期待来一个新的囚犯继续跟自己玩这个游戏啊。

囚犯乙的期待没有白费,没过多久真的来了个新人,就是不才在下VV自己。VV为啥被送进去坐牢?原因已经不记得了,不过值得肯定的一件事是VV知道那么一丁点儿数学。所以当囚犯乙跟VV描述起这个游戏、试图抓VV一块儿来玩的时候,VV大声笑了出来:“哈哈哈哈哈……”囚犯乙愤怒加郁闷加不解地说,“不玩就不玩好了,干嘛这么傻笑啊 ── 难道我新来的这位室友脑子有毛病?”VV笑得喘不过气来,“哈哈,哈哈哈,这游戏到死也不会有结果的么,因为两种方式走的路径总数永远都是一样的啊!”

就算没游戏可玩,囚犯乙跟VV也能找到别的法子打发时间。从今天开始,VV开始给囚犯乙上组合数学课,第一堂,binomial coefficients……

(未完待续)

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4 comments

  1. so far, interesting! admire!


  2. xixi 我本来觉得写到这里就结束了啊。可是转头一想,为什么不接受挑战,来给囚犯乙认真说点数学呢?


  3. 。。。没看懂囚犯乙他的那一堆歪歪斜斜的道道是怎么画的。。如果画了许多道道,那不是永远走不完?


  4. 囧。重看忽然懂了。



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